FRACCIONES
Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y el denominador, existiendo,
FRACCIONES PROPIAS, son aquellas que el numerador es menor que el denominador,esto es, menores a la UNIDAD.
FRACCIONES APARENTES, el numerador es igual al denominador, por lo tanto son iguales a la UNIDAD.
FRACCIONES DECIMALES, son aquellas en que el denominador es 10, 100, 1000, etc,
Para adentrarnos en estos números, y ver sus aplicaciones, relatemos un pequeño cuento ..
Margarita , escribiendo un reporte , pulsó equivocadamente el signo + , en lugar de x, El error, no trajo consecuencias porque la operación fue la siguiente :
3 + 1.5 = 3 x 1.5 = 4.5 ( el punto de 1.5 y 4.5 indican decimal )
Pregunta : ¿ Podría repetirse el caso con otros dos números ?
Matemáticamente debería formularse:
¿ Existen pares de números que sean decimales exactos y tales que su suma sea igual a su producto ?
Si X e Y son dos números con la condición mencionada , entonces
X + Y = XY que puede escribirse
( X – 1 ) ( Y – 1 ) = 1, siendo lo mismo según el enunciado que
( X - 1 ) = 1 / ( Y - 1 ) como ( Y – 1 ) = 1 / ( X – 1 )
ambos deben tener un número limitado de cifras decimales ( para que sean exactos), Ello exige que los denominadoes , prescindiendo de su coma decimal, tengan solo los factores primos 2 y 5, por lo tanto, si X – 1 , tiene solo el factor 2, su recíproco
( Y –1 ) = 1 / ( X-1) tendrá el factor 5 , y, viceversa,
A continuación va un ejemplo con números que prueba esta expresión.
( X - 1 )---------( Y - 1)-----------X---------Y ---------X + Y = XY
-----------------------------------------------------------------------------
2-------------------0.5---------------3---------1.5----------4.5
5-------------------0.2---------------6---------1.2----------7.2
40------------------0.025------------41---------1.025-------42.025
0.8-----------------1.25-------------1.8--------2.25---------4.05
_________________________________________________________________________
Ahora observemos algunos comportamientos especiales de números fraccionarios , vean estas series de equivalencias relacionadas con el número π, ( Phi), :
π/4 = ∑ ( -1 ) **n x 1 / ( 2n + 1) = 1/1 - 1 / 3 + 1/ 5 - 1 / 7 +…
π **2 / 8 = ∑ 1 /( 2n + 1)**2 = 1/1 **2 - 1 / 3**2 + 1/ 5 **2 - 1 / 7**2 ..
π **3 / 32 = ∑ 1 /(2n+ 1 )**3 = 1/1 **3 - 1 / 3**3 + 1/ 5 **3 - 1 / 7**3 +…
π/2 = 2/ 1 x 2/3 x 4/3 x 4/5 x 6/5 x 6/7 x 8/7 …..
HINT : Observese que los denominadores son nuestros viejos números impares, y, les recuerdo que el doble asterisco significa el exponente, ( elevado a ) , Buen provecho.
domingo, marzo 19, 2006
lunes, febrero 20, 2006
Veinticinco, XXV, 25,
Veinticinco es un número de la suerte, cuando se coloca una serie del 1 al 100, y, se le pregunta a distintas personas al azar, que elijan aquellos números que les parecen que atraen la fortuna, el amor, la salud, mencionan el 7, 25, 77, 88, 99, 100, las razones de estas opciones , obedecen a una especie de resonancia cósmica, suerte de esoteria no descifrada, que simplemente opera de este modo.
A los 25 años de matrimonio, se celebran las bodas de plata, una especie de medalla al valor en reconocimiento de los aguantes mutuos, la cuesta más díficil viene los próximos 25 años, período en que aparecen y brotan los achaques, cambian las conversaciones futbolísticas por recetas para subir la libido, bajar la presión, mejorar el colesterol, siendo recurrentes los estiramientos , liposucciones , y, en los menos afortunados los infartos , by passes, ataques de diabetes, y, otras menudencias.
Lo que si sabemos es que el 25 resulta ser el cuadrado perfecto de 5 , esto es,
5 ** ( 2 ) = 25, léase 5 al cuadrado.
También sabemos que 25 , se puede escribir como el producto de 4 números consecutivos , más uno, veamos :
1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 25, y que
11 x 12 x 13 x 14 + 1 = 24 025 = 155 ** ( 2 )
generalizando al estilo gauss, podemos escribir lo siguiente :
n ( n + 1 ) ( n + 2 )( n + 3 ) + 1
que puede reescribirse como :
n** ( 4 ) + 6 n ** ( 3 ) + 11 n**( 2 ) + 6 n + 1
resultando :
( n ** ( 2 ) + 3 n + 1 ) ** 2 ,
ahora haga n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ……..hasta que se aburra,
coloque los resultados en una serie, que puede denominarla con mi nombre,( también con el suyo), y, presentesela a algunos amigos matemáticos, ingenieros, astrónomos, físicos, verá que se romperán la cabeza tratando de descifrar esta espinuda cuestión,
Si hay algún candidato a yerno, nuera, pololo(a), pareja, amante, patas negras, o, como queramos llamarle, que tratando de pasar de listo, da con la solución en tiempo breve , no dude , estamos frente a alguién que puede mejorarnos el desgastado ADN familiar, así que ingenieselas para atraparlo, de lo contrario los nietos tendrán la misma cara de bobos que nosotros.
A los 25 años de matrimonio, se celebran las bodas de plata, una especie de medalla al valor en reconocimiento de los aguantes mutuos, la cuesta más díficil viene los próximos 25 años, período en que aparecen y brotan los achaques, cambian las conversaciones futbolísticas por recetas para subir la libido, bajar la presión, mejorar el colesterol, siendo recurrentes los estiramientos , liposucciones , y, en los menos afortunados los infartos , by passes, ataques de diabetes, y, otras menudencias.
Lo que si sabemos es que el 25 resulta ser el cuadrado perfecto de 5 , esto es,
5 ** ( 2 ) = 25, léase 5 al cuadrado.
También sabemos que 25 , se puede escribir como el producto de 4 números consecutivos , más uno, veamos :
1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 25, y que
11 x 12 x 13 x 14 + 1 = 24 025 = 155 ** ( 2 )
generalizando al estilo gauss, podemos escribir lo siguiente :
n ( n + 1 ) ( n + 2 )( n + 3 ) + 1
que puede reescribirse como :
n** ( 4 ) + 6 n ** ( 3 ) + 11 n**( 2 ) + 6 n + 1
resultando :
( n ** ( 2 ) + 3 n + 1 ) ** 2 ,
ahora haga n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ……..hasta que se aburra,
coloque los resultados en una serie, que puede denominarla con mi nombre,( también con el suyo), y, presentesela a algunos amigos matemáticos, ingenieros, astrónomos, físicos, verá que se romperán la cabeza tratando de descifrar esta espinuda cuestión,
Si hay algún candidato a yerno, nuera, pololo(a), pareja, amante, patas negras, o, como queramos llamarle, que tratando de pasar de listo, da con la solución en tiempo breve , no dude , estamos frente a alguién que puede mejorarnos el desgastado ADN familiar, así que ingenieselas para atraparlo, de lo contrario los nietos tendrán la misma cara de bobos que nosotros.
miércoles, febrero 15, 2006
Veinticuatro, XXIV, 24,
En una sala de reuniones, hay de tres sillas y dos personas, la pregunta es ¿ De cuántas maneras distintas, se pueden sentar simultáneamente estas dos personas, en las sillas ? La respuesta está dada por 3 x 2 x 1 = 3 !, léase tres factorial, cuyo resultado aritmético es 6,
Ahora bien, suponga que hay cuatro mujeres y cuatro sillas, en este caso, la pregunta es , ¿ De cuántas maneras distintas se pueden sentar las damas en las sillas ? , ( Puede agregarle algo de malicia, cambiando las sillas por caballeros, y, hacerse otra clase de preguntas, respetando el concepto de las posibles combinaciones ), La respuesta está dada por 4 x 3 x 2 x 1 = 4 !, léase cuatro factorial, cuyo resultado es el 24, ello quiere decir, que cuatro damas con cuatro sillas, ( o cuatro caballeros, idealmente que no lo sean tanto ), pueden sentarse, ( o permutarse ), de 24 formas diferentes. Ya sabe para la próxima fiesta, invite a cuatro parejas, deje los prejuicios de lados, y, ya tiene un swinging de 24 . Interesante númerito este 24.
Fueron los Babilonios, esos de por allá de Mesopotamia, ( no confundir con la profesora de historia del arte , que tenía, Manso Potamia, siendo la admiración de profesores y alumnos ), los que dividieron el día en 24 horas, en que cada hora duraba 60 minutos, y, cada minuto, en 60 segundos, Para los menos letrados, estamos hablando de alrededor de cuatro mil años atrás, que los días duraban 24 horas, y. así sigue hasta hoy, mostrando que este numerito tiene algo de inamovible.
Se me vienen a la memoria, 24 minutos de amor y sexo, las 24 horas de Lemans, las 24 semanas en la cartelera de un musical, los 24 años de un edificio en New York, y, las 24 campanadas en secuencia que conforma un carillón, este último, da motivo para un próximo post.
Ahora bien, suponga que hay cuatro mujeres y cuatro sillas, en este caso, la pregunta es , ¿ De cuántas maneras distintas se pueden sentar las damas en las sillas ? , ( Puede agregarle algo de malicia, cambiando las sillas por caballeros, y, hacerse otra clase de preguntas, respetando el concepto de las posibles combinaciones ), La respuesta está dada por 4 x 3 x 2 x 1 = 4 !, léase cuatro factorial, cuyo resultado es el 24, ello quiere decir, que cuatro damas con cuatro sillas, ( o cuatro caballeros, idealmente que no lo sean tanto ), pueden sentarse, ( o permutarse ), de 24 formas diferentes. Ya sabe para la próxima fiesta, invite a cuatro parejas, deje los prejuicios de lados, y, ya tiene un swinging de 24 . Interesante númerito este 24.
Fueron los Babilonios, esos de por allá de Mesopotamia, ( no confundir con la profesora de historia del arte , que tenía, Manso Potamia, siendo la admiración de profesores y alumnos ), los que dividieron el día en 24 horas, en que cada hora duraba 60 minutos, y, cada minuto, en 60 segundos, Para los menos letrados, estamos hablando de alrededor de cuatro mil años atrás, que los días duraban 24 horas, y. así sigue hasta hoy, mostrando que este numerito tiene algo de inamovible.
Se me vienen a la memoria, 24 minutos de amor y sexo, las 24 horas de Lemans, las 24 semanas en la cartelera de un musical, los 24 años de un edificio en New York, y, las 24 campanadas en secuencia que conforma un carillón, este último, da motivo para un próximo post.
martes, enero 31, 2006
Rompiendo el silencio, El Veintidos, XXII, 22, y, 23,XXIII
Probablemente, el número más famoso sea π , Pi , la razón entre la circunsferencia L de un círculo y su diametro, ( dos veces el radio), , En otras palabras , esto significa que si tomamos un círculo cuyo diámetro es de 3 centimetros, entonces el largo L de la circunferencia sera de 3 x π centímetros.
Por lo tanto, Pi se cálcula y expresa como la razón :
Longitud de la circunferencia
_________________________
Longitud Diámetro
PI es un numero irracional, y, lo mejor de todo es que podemos hacer una aproximación del mismo, Cuando lo expresamos como decimal, PI, resulta ser 3,14159…. Y, así una larga lista de números de níunca acabar, Aquí entonces aprece magicamente el 22, porque la fracción más común, usada para PI = 22 / 7 , en la figura viene a ser que un diametro de 3 cmm, la circunferencia mide 22 cms,
22 x 22 = 22 ** 2 = 484, número capicua, palindromo,
Así como existen los números triangulares, ( vea el número quince en esta misma sección ), , los números cuadráticos, hay una serie que se llama números pentagonales, que considera la numeración acumulativa en una figura de cinco lados, en que se observa que el 22 viene a ser el cuarto número de esta serie, ( 1,5,12, 22, …),
Numero XXIII, 23,
Para comenzar hay que comentar que 23!, ( lease , 23 factorial, que representa la multiplicación de los números 1x2x3x4x5x6x7…….hasta 23 ), da como resultado un número de 23 cifras, insólito por decir lo menos, ahora , si tiene dudas, vaya tomado lapíz y papel, y, empiece a multiplicar, los más avezados, usen la función factorial en la calculadora o PC, y, cuenten las cifras del guarismo resultante,
En una encuesta realizada en una revista femenina, acerca de lo que más les gustaba hacer mientras permanecían en la cama, el 23 % de las mujeres contestaron que ellas disfrutaban leyendo, por otra parte, el 50% de los hombres contestaron que ellos preferían hacer el amor, acerca de lo cuál, un 20% de las mujeres de la muestra confirmaron que estarían dispuestas a compartir esta iniciativa masculina, otro 30% opinó que esas afirmaciones eran solo frases para impresionar a los amigos, porque según las feminas , en la práctica, el rendimiento y calificación general al respecto era deplorable, menos que satisfactorio. Así que major hablemos de otros temas, dado que no nos están evaluando muy bien,
Otra cosa muy conocida, resulta de reuniones sociales, bailes, cumpleaños, dónde hay 23 personas, siempre se produce un rompedero de cabezas , especialmente a esos que ofician de celestinos, que tratan de emparejar a sus amigos recientemente separados, con los divorciados crónicos, el salomónico 50 : 50, que debiera funcionar, jamás opera, dando como resultado un personaje aguafiestas que queda como bola huacha, no atrapando ni a las moscas, siendo candidato seguro para largas sesiones en el psiquiatra, psicólogo, y, otros terapeutas familiars, que no conocen esta relación de causa y efecto de estas fiestas del 23. Ya saben si tienen algún conocido camote, junten 22 personas adicionales , y, verán la infalibilidad de esta teoría del 23, aprovechando de pasada de confirmar que la misma funciona, en cuyo caso, avísenme, podríamos compartir su registro de autoría y patentes, porque eso de apropiarse de ideas ajenas, no es muy elegante. Sin perjuicio de ello, tienen todo mi beneplácito para tratar de demostrar esta sobresaliente conceptualización, el mundo está esperando una contribución de estas características.
Para los futboleros, al interior del campo de juego, dígase cancha de futbol, hay 11 jugadores por lado, más el árbitro, esto es , 23 personas corriendo trás una pelota, ( entiéndase balón), Se supone que tambien están los guardalineas, o, line-man, que ayudan al referee, pero, todos ellos operan levantando banderas desde fuera de la cancha, señalando los off-side, anulando goles, y, observando algunas trompadas y codazos, que los jugadores se reparten a diestra y siniestra , en general , a espaldas del árbitro general.
Otra historia tiene que ver con un perro pomerania, llamado Bobby, que vivió hasta la edad de 23 años, cosa que no debiera llamar demasiado la atención, pero, si observamos la esperanza de vida de nuestros compañeros de cuatro patas, la campana de Gauss, indica que lo usual anda por los 13, a, 14 años, con casos excepcionales de hasta 15, 16, y, por allí alguno de 18 años, por ello, 23 años, viene a ser un record guinnes en longevidadc perruna.
Por lo tanto, Pi se cálcula y expresa como la razón :
Longitud de la circunferencia
_________________________
Longitud Diámetro
PI es un numero irracional, y, lo mejor de todo es que podemos hacer una aproximación del mismo, Cuando lo expresamos como decimal, PI, resulta ser 3,14159…. Y, así una larga lista de números de níunca acabar, Aquí entonces aprece magicamente el 22, porque la fracción más común, usada para PI = 22 / 7 , en la figura viene a ser que un diametro de 3 cmm, la circunferencia mide 22 cms,
22 x 22 = 22 ** 2 = 484, número capicua, palindromo,
Así como existen los números triangulares, ( vea el número quince en esta misma sección ), , los números cuadráticos, hay una serie que se llama números pentagonales, que considera la numeración acumulativa en una figura de cinco lados, en que se observa que el 22 viene a ser el cuarto número de esta serie, ( 1,5,12, 22, …),
Numero XXIII, 23,
Para comenzar hay que comentar que 23!, ( lease , 23 factorial, que representa la multiplicación de los números 1x2x3x4x5x6x7…….hasta 23 ), da como resultado un número de 23 cifras, insólito por decir lo menos, ahora , si tiene dudas, vaya tomado lapíz y papel, y, empiece a multiplicar, los más avezados, usen la función factorial en la calculadora o PC, y, cuenten las cifras del guarismo resultante,
En una encuesta realizada en una revista femenina, acerca de lo que más les gustaba hacer mientras permanecían en la cama, el 23 % de las mujeres contestaron que ellas disfrutaban leyendo, por otra parte, el 50% de los hombres contestaron que ellos preferían hacer el amor, acerca de lo cuál, un 20% de las mujeres de la muestra confirmaron que estarían dispuestas a compartir esta iniciativa masculina, otro 30% opinó que esas afirmaciones eran solo frases para impresionar a los amigos, porque según las feminas , en la práctica, el rendimiento y calificación general al respecto era deplorable, menos que satisfactorio. Así que major hablemos de otros temas, dado que no nos están evaluando muy bien,
Otra cosa muy conocida, resulta de reuniones sociales, bailes, cumpleaños, dónde hay 23 personas, siempre se produce un rompedero de cabezas , especialmente a esos que ofician de celestinos, que tratan de emparejar a sus amigos recientemente separados, con los divorciados crónicos, el salomónico 50 : 50, que debiera funcionar, jamás opera, dando como resultado un personaje aguafiestas que queda como bola huacha, no atrapando ni a las moscas, siendo candidato seguro para largas sesiones en el psiquiatra, psicólogo, y, otros terapeutas familiars, que no conocen esta relación de causa y efecto de estas fiestas del 23. Ya saben si tienen algún conocido camote, junten 22 personas adicionales , y, verán la infalibilidad de esta teoría del 23, aprovechando de pasada de confirmar que la misma funciona, en cuyo caso, avísenme, podríamos compartir su registro de autoría y patentes, porque eso de apropiarse de ideas ajenas, no es muy elegante. Sin perjuicio de ello, tienen todo mi beneplácito para tratar de demostrar esta sobresaliente conceptualización, el mundo está esperando una contribución de estas características.
Para los futboleros, al interior del campo de juego, dígase cancha de futbol, hay 11 jugadores por lado, más el árbitro, esto es , 23 personas corriendo trás una pelota, ( entiéndase balón), Se supone que tambien están los guardalineas, o, line-man, que ayudan al referee, pero, todos ellos operan levantando banderas desde fuera de la cancha, señalando los off-side, anulando goles, y, observando algunas trompadas y codazos, que los jugadores se reparten a diestra y siniestra , en general , a espaldas del árbitro general.
Otra historia tiene que ver con un perro pomerania, llamado Bobby, que vivió hasta la edad de 23 años, cosa que no debiera llamar demasiado la atención, pero, si observamos la esperanza de vida de nuestros compañeros de cuatro patas, la campana de Gauss, indica que lo usual anda por los 13, a, 14 años, con casos excepcionales de hasta 15, 16, y, por allí alguno de 18 años, por ello, 23 años, viene a ser un record guinnes en longevidadc perruna.
martes, enero 03, 2006
Numerología del 2006, predicciones presidenciales
Por sugerencia bloguera, voy a comentar algo sobre el año 2006, cuyo, numeral mnemónico resulta ser el 8, ( suma de los guarismos 2 + 0+ 0+ 6 = 8 ), que como sabemos es el quinto número de la serie de Fibonacci, recuerden que si toma dos números consecutivos cualesquiera de la secuencia , y, al sumarlos resulta el número siguiente , y así sucesivamente , observen la serie tal cuál como se describe a continuación :
1, 2, 3, 5, 8, 13,21, ............,
suma el primero ( 1) y el segundo ( 2), obtendrás el tercero,(3)
el seguno (2) y el tercero(3), te da el cuarto, (5),
aritmeticamente se escribe así :
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
Ahora los factores compuestos de 2006 son 1, 2, 17, 34, 59, 118, 1003 , que al sumarlos da el cavalístico número de 1234, secuencia perfecta de las cifras constituyentes, observándose , por una parte, que la suma de los factores múltiplos, ( 1+2+17+34+59+118+1003), resulta ser menor que 2006 , indicando que pertenece a la familia de los defectivos, contrario a los abundantes que ya hemos mencionado anteriormente, y, por otra, ese orden del resultado 1, 2, 3, 4.
Recuerden que el cuadrado de un número impar , siempre resulta un número múltiplo de 8 , más uno,
A modo de ejemplo , 5 al cuadrado = 5 x 5 = 25 = 3 x 8 + 1 ,
7x7 = 49 = 6 x 8 + 1,
9*9 = 81 = 10 x8 + 1,
11x11= 121 = 15 x 8 + 1 ,
y así pueden seguir hasta que se aburran con 13, 15, 17, 19, 21, 23, and, so on..
Estos números de fibonacci insertos en la naturaleza, y, la secuencia ordenada defectiva, están indicando que el 2006, será un año de grandes logros para los seres humanos, especialmente para aquellos que se preocupan de la vida silvestre, el medio ambiente, y, en general ,a las personas altruistas, viéndose excelentes expectativas en los avances tecnológicos, y, buenas compensaciones en los resultados económicos. Los vientos numéricos ofrecen una perspectiva de redistribución equitativa del dinero, que a primera vista, parecieran estar cargando los dados del destino a favor de Michelle Bachelet, ( sorry Sebastián, eso dicen los equilibrios Mnemónicos ), así que prepárense los machistas, porque tendremos una presidente mujer, hecha y derecha, marcando un hito en la historia. Por mi parte, fui educado por una mamá feminista, no –ortodoxa, porque declara que le encantan los hombres, así que no tengo drama de ser gobernado por una primera dama.
1, 2, 3, 5, 8, 13,21, ............,
suma el primero ( 1) y el segundo ( 2), obtendrás el tercero,(3)
el seguno (2) y el tercero(3), te da el cuarto, (5),
aritmeticamente se escribe así :
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
Ahora los factores compuestos de 2006 son 1, 2, 17, 34, 59, 118, 1003 , que al sumarlos da el cavalístico número de 1234, secuencia perfecta de las cifras constituyentes, observándose , por una parte, que la suma de los factores múltiplos, ( 1+2+17+34+59+118+1003), resulta ser menor que 2006 , indicando que pertenece a la familia de los defectivos, contrario a los abundantes que ya hemos mencionado anteriormente, y, por otra, ese orden del resultado 1, 2, 3, 4.
Recuerden que el cuadrado de un número impar , siempre resulta un número múltiplo de 8 , más uno,
A modo de ejemplo , 5 al cuadrado = 5 x 5 = 25 = 3 x 8 + 1 ,
7x7 = 49 = 6 x 8 + 1,
9*9 = 81 = 10 x8 + 1,
11x11= 121 = 15 x 8 + 1 ,
y así pueden seguir hasta que se aburran con 13, 15, 17, 19, 21, 23, and, so on..
Estos números de fibonacci insertos en la naturaleza, y, la secuencia ordenada defectiva, están indicando que el 2006, será un año de grandes logros para los seres humanos, especialmente para aquellos que se preocupan de la vida silvestre, el medio ambiente, y, en general ,a las personas altruistas, viéndose excelentes expectativas en los avances tecnológicos, y, buenas compensaciones en los resultados económicos. Los vientos numéricos ofrecen una perspectiva de redistribución equitativa del dinero, que a primera vista, parecieran estar cargando los dados del destino a favor de Michelle Bachelet, ( sorry Sebastián, eso dicen los equilibrios Mnemónicos ), así que prepárense los machistas, porque tendremos una presidente mujer, hecha y derecha, marcando un hito en la historia. Por mi parte, fui educado por una mamá feminista, no –ortodoxa, porque declara que le encantan los hombres, así que no tengo drama de ser gobernado por una primera dama.
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